多项式约束下的最优碰撞规避机动

论文信息： Zeno Pavanello, Laura Pirovano, Roberto Armellin, "Efficient collision avoidance manoeuvres under multiple polynomial constraints", Acta Astronautica, Vol. 234, 2025, pp. 548–559. DOI: 10.1016/j.actaastro.2025.05.002

研究机构： Te Pūnaha Ātea — The Space Institute, The University of Auckland（奥克兰大学空间研究所）

发表时间： 收稿 2024 年 12 月 22 日，修回 2025 年 4 月 23 日，接受 2025 年 5 月 1 日，在线发表 2025 年 5 月 20 日

1. 引言：空间交通管理的自动化挑战

根据欧洲空间局（ESA）2025 年发布的最新《空间环境年报》，地球轨道上已编目的空间物体接近 40,000 个。这一数字的急剧增长，主要归因于航天器小型化趋势以及 Starlink 等巨型星座的大规模部署。日益拥挤的轨道环境意味着交会事件（conjunction）的频率急剧上升，每次预测到的近距离交会都可能需要航天器执行碰撞规避机动（Collision Avoidance Manoeuvre, CAM）。

当前的碰撞规避操作主要依赖地面操作人员，使用过去二十年发展起来的工具和流程。然而，面对爆炸式增长的交会预警数量，完全依赖人工决策和人工设计规避机动的方式已不可持续。航天界迫切需要能够自主运行、甚至星上计算的 CAM 算法——这类算法必须在极短时间内给出燃料最优（或能量最优）的机动方案。

这构成了本文的核心研究动机：提出一种简洁、可靠且计算高效的 CAM 优化方法，满足自主化空间交通管理的需求。

1.1 研究现状与本文定位

碰撞规避问题已被广泛研究。早期工作包括 Alfano 的参数化规避工具、德国宇航中心和 ESA 开发的半自动工具，以及多目标优化方法等。这些方法虽能给出最优解，但计算代价过高，无法用于自主化场景。

近年来，学界开始关注高效 CAM 算法。Bombardelli 和 Hernando-Ayuso 提出了解析/半解析方法，将问题简化为本征值问题，实现毫秒级求解。De Vittori 等人针对电推进卫星提出了小推力 CAM 的解析与半解析方法。Armellin 等人则利用微分代数（Differential Algebra, DA） 和凸优化，将 CAM 转化为序列凸规划（SCP）求解。

本文正是沿着 Armellin 研究组的 DA 路线继续深化。与已有工作相比，本文的核心创新在于：

1. 将 CAM 建模为多项式规划（Polynomial Programme, PP），利用 DA 自动生成任意阶 Taylor 展开
2. 提出递归线性化方法：将高阶多项式约束逐次线性化，转化为一系列可高效求解的二次规划（QP）
3. 统一处理多种约束：碰撞概率（PoC）、交会距离（MD）、轨道保持（Station-Keeping, SK）等均被纳入同一框架
4. 同时支持脉冲和多脉冲/小推力两种动力学模式
5. 计算速度极快（0.1–0.5 秒），且多项式映射仅需计算一次

2. 问题建模：从轨道动力学到多项式约束

2.1 动力学模型

论文采用考虑 $J_2$ 摄动的轨道动力学模型：

$$ \begin{aligned} \ddot{r}_x(t) &= -\frac{\mu}{r(t)^3} x(t) \left[1 + k_{J_2}\left(1 - \frac{5z(t)^2}{r(t)^2}\right)\right] + u_x(t) \\ \ddot{r}_y(t) &= -\frac{\mu}{r(t)^3} y(t) \left[1 + k_{J_2}\left(1 - \frac{5z(t)^2}{r(t)^2}\right)\right] + u_y(t) \\ \ddot{r}_z(t) &= -\frac{\mu}{r(t)^3} z(t) \left[1 + k_{J_2}\left(3 - \frac{5z(t)^2}{r(t)^2}\right)\right] + u_z(t) \end{aligned} $$

其中 $k_{J_2} = \frac{3}{2}\left(\frac{R_E}{r}\right)^2 J_2$，$u(t)$ 为控制加速度。由于碰撞规避机动通常仅消耗少量燃料，质量变化可忽略不计。

关键设计理念： 由于 DA 的 Taylor 展开是自动进行的，该算法与任何动力学模型兼容——无论是 Kepler 轨道、$J_2$ 摄动，还是更复杂的高阶引力场模型，只需更换传播器即可。

2.2 B 平面与交会度量

两个空间物体的近距离交会在 B 平面（B-plane） 中建模（见下图）。B 平面是一个以次要目标为中心的参考系 $(\xi, \eta, \zeta)$，其中 $\eta$ 轴沿相对速度方向，$\xi$-$\zeta$ 平面垂直于相对速度。

图 1：B 平面构造。来源：改编自 [Armellin, 2021]

在短时交会假设下，两物体的相对运动可近似为匀速直线运动。碰撞概率（Probability of Collision, PoC）的计算简化为 B 平面上联合协方差椭圆内的二维积分：

$$ P_{C,s} = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 \det(\boldsymbol{P}_{\mathcal{B}_s})}} \iint_{C_{HBR}} e^{-d_{m,s}^2/2} \, dA $$

其中 $d_{m,s}^2 = \boldsymbol{r}_{\mathcal{B}_s}^T \boldsymbol{P}_{\mathcal{B}_s}^{-1} \boldsymbol{r}_{\mathcal{B}_s}$ 为 B 平面上相对位置的平方 Mahalanobis 距离，$C_{HBR}$ 为联合硬体半径（HBR）圆域。

论文采用 Chan 方法 近似该积分，但明确指出：优化方法与具体的 PoC 计算模型无关，DA 可自动处理任意函数形式。

2.3 多种约束条件

论文的一大特色是在统一框架下处理多种可操作约束：

（1）碰撞规避约束：
- 单次交会 PoC 约束： $P_{C,s} \leq \bar{P}_C$
- 多次连续交会总碰撞概率（TPoC）约束： $P_C = 1 - \prod_{s=1}^{n_{conj}} (1 - P_{C,s})$
- 交会距离（MD）约束： $d_{miss,s}^2 = \|\boldsymbol{r}_{\mathcal{B}_s}\|^2 \geq \bar{d}^2$

（2）轨道保持（Station-Keeping, SK）约束：

论文提出了两种 SK 约束形式：
- 密切 Kepler 根数约束： 要求机动后的半长轴、偏心率、倾角、近地点辐角和升交点赤经恢复到标称值
- 平均轨道根数约束： 仅约束平均半长轴和偏心率偏差不超过阈值，这在工程实际中更为常用

$$ \varepsilon_{sma} = (a_m(t_f) - \bar{a}_m(t_f))^2 \leq \Delta a_{max}^2 $$

$$ \varepsilon_{ecc} = (e_m(t_f) - \bar{e}_m(t_f))^2 \leq \Delta e_{max}^2 $$

3. 核心方法：从多项式规划到递归线性化

3.1 微分代数（DA）与多项式规划（PP）

微分代数 是本方法的技术基石。通俗而言，DA 能够在数值计算过程中自动跟踪和传播高阶导数信息。传统的轨道传播器仅输出状态变量的数值；而 DA 增强的传播器则输出状态关于控制变量的 Taylor 多项式展开。

图 2：脉冲与小推力设计方案。黑色节点代表弹道段起点，蓝色节点对应脉冲或小推力段起点。

通过 DA 前向传播，任何与状态相关的标量约束函数 $h(\boldsymbol{\Phi})$（如 PoC、MD、轨道根数偏差）都可被展开为关于控制变量 $\boldsymbol{\Phi}$ 的 $n$ 阶多项式：

$$ \mathcal{T}_h^n(\boldsymbol{\Phi}) = h_0 + \sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}^{(k)} \boldsymbol{\Phi}^k $$

其中 $\mathcal{H}^{(k)}$ 是 $k$ 阶超对称张量，包含了 $h$ 对 $\boldsymbol{\Phi}$ 的 $k$ 阶偏导数信息。

由此，CAM 优化问题可被转化为如下多项式规划（PP）：

$$ \begin{aligned} \min_{\boldsymbol{\Phi}} \quad & \boldsymbol{\Phi}^T \boldsymbol{\Phi} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{k=1}^{n} \mathcal{G}_v^{(k)} \boldsymbol{\Phi}^k \leq \rho_v, \quad v \in \{1, \ldots, n_{in}\} \\ & \sum_{k=1}^{n} \mathcal{H}_c^{(k)} \boldsymbol{\Phi}^k = \rho_c, \quad c \in \{1, \ldots, n_{eq}\} \end{aligned} $$

目标函数是 $\boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{\Phi}$（能量最优），约束是 $n$ 阶多项式形式的不等式和等式约束。

3.2 递归多项式方法（Recursive Polynomial Method）

直接求解上述高阶 PP 非常困难。论文提出的核心创新是将其转化为一系列二次规划（QP）的迭代求解。

Step 1 — 一阶截断： 首先将多项式约束截断至一阶，得到 QP：

$$ \begin{aligned} \min_{\boldsymbol{\Phi}} \quad & \boldsymbol{\Phi}^T \boldsymbol{\Phi} \\ \text{s.t.} \quad & \mathcal{H}_v^{(1)} \boldsymbol{\Phi} \leq \rho_v, \quad \mathcal{H}_c^{(1)} \boldsymbol{\Phi} = \rho_c \end{aligned} $$

利用内点法或有效集方法，可在多项式时间内求得该 QP 的最优解 $[\boldsymbol{\Phi}]_1$。

Step 2 — 高阶递归： 假设已知 $j-1$ 阶的最优解 $[\boldsymbol{\Phi}]_{j-1}$，则 $j$ 阶 PP 的高阶项在该解处线性化：

$$ \gamma_c^{(j)} := \mathcal{H}_c^{(1)} + \sum_{k=2}^{j} \mathcal{H}_c^{(k)} [\boldsymbol{\Phi}]_{j-1}^{k-1} $$

这里 $\gamma_c^{(j)}$ 被称为 $j$ 阶伪梯度（pseudo-gradient）——它包含了高阶项对当前解的一阶修正。由此，$j$ 阶 PP 被近似为新的 QP：

$$ \min_{\boldsymbol{\Phi}} \quad \boldsymbol{\Phi}^T \boldsymbol{\Phi} \quad \text{s.t.} \quad \gamma_v^{(j)} \boldsymbol{\Phi} \leq \rho_v, \quad \gamma_c^{(j)} \boldsymbol{\Phi} = \rho_c $$

该 QP 求解得到 $[\boldsymbol{\Phi}]_j$，然后再作为新的线性化点重复上述过程，直到满足收敛条件：

$$ \| [\boldsymbol{\Phi}]_j^b - [\boldsymbol{\Phi}]_j^{b-1} \|_2 \leq e_{tol} $$

此后，展开阶次递增至 $j+1$，重复整个流程直至 $n$ 阶。

该方法的核心优势：

1. 多项式映射仅需计算一次。 与传统的序列凸规划（SCP）不同，递归方法不需要在每次迭代中重新进行数值传播和 Taylor 展开——高阶多项式在初始阶段一次性构建完成，后续所有线性化操作都是基于已有多项式系数的代数运算。

2. 计算复杂度极低。 每次迭代只需解一个 QP（多项式时间），总体收敛快（通常 < 15 次迭代）。

3. 可处理高度非线性约束。 当一阶截断无法准确描述约束时，逐步引入高阶项的信息有效提升了精度。

4. 实验验证：多场景下的全面评估

论文在多个维度对方法进行了系统验证，所有仿真均在 Intel Core i7-11700 @2.5GHz 平台上使用 MATLAB R2024a 和 C++ 完成。

4.1 CAM + 密切轨道根数恢复（Section 6.1）

采用 ESA 碰撞规避挑战赛数据库的 2,170 个真实交会场景，耦合了 PoC 约束和五维密切 Kepler 根数恢复约束（半长轴、偏心率、倾角、近地点辐角、升交点赤经）。

机动方案采用双脉冲：第一个脉冲在交会前 0.5 个轨道周期执行，第二个脉冲在交会后 0.5 个轨道周期执行以恢复标称轨道。

图 3：双脉冲 Δv 分布（Problem 39）。绝大多数场景 Δv 低于 50 mm/s，极端情况可达 1 m/s。

关键结果：
- 总 Δv： 绝大多数场景 < 50 mm/s，极端情况可达约 1 m/s
- PoC 相对误差： 最大绝对误差仅 $4 \times 10^{-9}$
- 轨道恢复误差： 位置 < 2 cm，速度 < 0.15 mm/s
- 计算时间： 95 分位数 < 0.15 秒

图 4：PoC 相对误差分布。蓝色柱对应 Problem (39)（密切根数恢复），橙色柱对应 Problem (40)（平均根数恢复）。Problem (40) 在零误差附近的集中度更高，接近 80% 的案例相对误差几乎为零。

图 4 揭示了两种 SK 策略在 PoC 约束精度上的差异。Problem (40)（仅约束平均半长轴和偏心率）由于约束更为宽松，优化器有更大的可行域去寻找更低 PoC 的解，因此在零误差附近出现了极高的集中度。相比之下，Problem (39)（五维密切根数恢复）的约束更紧，PoC 相对误差分布相对分散。

图 5：Problem (39) 的密切根数恢复误差分布。六个子图分别展示半长轴 a、偏心率 e、倾角 i、近地点辐角 ω、升交点赤经 Ω 和真近点角 θ 的误差分布。所有误差均高度集中在零附近，验证了 SK 约束的高精度满足。

图 5 全面展示了五维密切 Kepler 根数的恢复精度。值得注意的是，各轨道根数的误差分布极窄——半长轴误差在 ±1 m 以内、角度误差在 10⁻⁴ 度量级，充分证明了递归方法对密切根数 SK 约束的严格满足能力。

4.2 CAM + 平均轨道根数恢复（Section 6.2）

将 SK 约束放宽为仅控制平均半长轴误差 ≤ 3 m 和偏心率误差 ≤ 3 m。由于要求更宽松，总 Δv 显著降低。

图 6：计算时间箱线图（限制在 95 分位数）。递归方法（Recursive）显著优于 MATLAB fmincon。

与 fmincon 对比：
- Problem (39)（密切根数恢复）：递归方法平均快 30%
- Problem (40)（平均根数恢复）：递归方法平均快 40%
- 递归方法的计算时间分布显著更集中，可靠性更高

图 7：Problem (40) 的双脉冲 Δv 分布。紫色柱为 Δv₁（交会前脉冲），浅蓝柱为 Δv₂（交会后脉冲）。绝大多数案例所需 Δv 远低于 100 mm/s，整体显著低于 Problem (39)。

图 7 与图 3 对比可以清晰看出，放宽 SK 约束后总 Δv 大幅下降。Problem (40) 仅要求恢复平均半长轴（≤ 3 m）和偏心率（≤ 3 m），不再强制恢复倾角、近地点辐角和升交点赤经，使得优化器可以利用更经济的切向脉冲完成规避。

图 8：Problem (40) 的 SK 误差分布。上图：平均半长轴误差 ε_sma，下图：偏心率误差 ε_ecc。两者均严格约束在 3 m 以内，绝大多数案例误差接近于零。

图 8 验证了平均根数 SK 约束的满足情况。两个直方图均呈现高度右偏的分布——绝大多数案例的半长轴和偏心率恢复误差接近零，仅极少数案例接近 3 m 的容限边界。这说明递归方法在宽松约束下依然保持了良好的约束满足精度。

4.3 多交会场景（Section 6.3）

考虑一颗 LEO 主卫星连续遭遇 2–3 个次要目标的情况。论文分别使用 TPoC、单独 PoC 和 MD 三种不同度量设计规避机动。

图 9：交会前后的 Δv 优化。上半图显示 CTM 前的 Δv₁，下半图显示 TCA 后的 Δv₂。

图 10：交会时刻的交会距离（上）和返回时刻的平均半长轴误差（下）随点火轨道周期数的变化。上图显示 d_miss 在 2 km 阈值附近振荡，下图显示 Δa 在半轨道周期整数倍点火时误差最小。

图 10 为多交会场景的参数扫描分析提供了直观展示。上图表明，当点火时机选择为最优点（半轨道周期的整数倍）时，交会距离 d_miss 可以精确维持在 2 km 的 MD 阈值附近。下图使用对数坐标展示了平均半长轴误差 Δa 的剧烈变化——仅在最优时机（5.5、4.5、3.5、...、0.5 个轨道周期前）点火时，SK 恢复误差才能控制在合理范围内（< 10 m），进一步验证了半轨道周期整数倍为最优机动时机的结论。

关键发现：

• 最优点火时机： 交会前 0.5、1.5、2.5 等半轨道周期的倍数
• 最差点火时机： 轨道周期的 3/4 处（需要大量法向分量）
• TPoC 和单独 PoC 约束产生几乎相同的最优机动
• MD 约束下 Δv 更高，因为机动方向需要产生更大的交会距离

图 11：第一次交会的 B 平面。实线椭圆为 PoC = 10⁻⁶ 的等概率椭圆；虚线圆为 MD 阈值。

图 12：最后一次交会的 B 平面。与图 11 形成对比：在最后一次交会中，PoC（橙色）和 TPoC（蓝色）的最优解位于等概率椭圆的最右端边缘，而 MD（绿色）的最优解则远离椭圆主体、位于 B 平面左侧。

图 12 与图 11 的对比揭示了多交会场景的核心挑战。在第一次交会中，三种度量（TPoC、PoC、MD）的最优解在 B 平面上相对接近；但在最后一次交会中，MD 约束下的最优解与 PoC/TPoC 解在 B 平面上方向相反——这意味着规避某一交会的机动可能对另一交会不利，凸显了全局优化的必要性。

4.4 多交会 + SK + 小推力（Section 6.4）

这是最具挑战性的场景：三次连续交会 + 平均轨道根数恢复 + 小推力动力学。采用三段时间连续的推力弧段，扩展到 4 阶。

图 13 & 14：PoC（左）和 MD（右）优化的小推力加速度剖面。

图 14：MD 优化的小推力加速度剖面（带 SK 约束）。蓝/橙/黄线分别为径向（R）、切向（T）、法向（N）分量，黑线为总加速度幅值。脉冲集中在轨道周期 -0.5、0.5 和 1.5 处。

对比图 13 和图 14 可以直观看出 PoC 和 MD 两种碰撞度量所对应的小推力剖面差异。PoC 优化需要更高的加速度峰值（约 0.05 mm/s²），而 MD 优化的峰值较低（约 0.03 mm/s²）。两者的推力窗口位置相似（均在 -0.5、0.5、1.5 轨道周期），但推力方向分配不同——这反映了不同碰撞度量在 B 平面上引导轨迹的不同策略。

图 15：带 SK 约束的第一次交会 B 平面。橙色（PoC）和绿色（MD）标记分别表示两种策略下的 B 平面映射点。黑色曲线为相对运动轨迹，虚线圆为联合硬体半径。

图 16：第二次交会的 B 平面（带 SK 约束）。注意高度拉长的等概率椭圆，表明该方向梯度极小。

图 17：带 SK 约束的最后一次交会 B 平面。与图 16 对比，该交会的约束是未激活的（inactive）——PoC 和 MD 两种策略的最优解均位于等概率椭圆内部的安全区域，表明该交会不构成主动约束。

图 17 揭示了一个重要现象：在三交会场景中，并非所有交会的约束都是主动的。最后一次交会的等概率椭圆完全包围了虚线安全圆，PoC 和 MD 的最优解均安全地位于椭圆内部——这意味着优化器无需专门为该交会分配控制资源，自然满足了安全要求。这一发现对于理解多交会场景下约束的激活/休眠机制具有重要意义。

核心洞察：

• 在多次连续交会中，规避其中一个交会的机动未必对另一个交会有效——需要全局优化
• 该场景中第二个交会的约束是主动的（active），最优解位于等概率椭圆的半长轴上（PoC 梯度最小方向）
• SK 约束精度达到半长轴 11 mm 和偏心率 3.9 m

4.5 收敛性分析（Section 6.5）

图 18：迭代次数分布。蓝色柱对应 Problem (39)（密切根数恢复），橙色柱对应 Problem (40)（平均根数恢复）。Problem (39) 在 4–5 次迭代处出现尖锐峰值，Problem (40) 分布更宽但中位数仍在 6–7 次。

图 18 统计了 2,170 个真实交会场景中递归方法的迭代收敛次数。Problem (39) 的迭代次数高度集中在 4–5 次，说明五维密切根数恢复虽然约束更紧，但递归线性化的收敛路径更为直接。Problem (40) 的分布更分散（峰值在 6–7 次），可能是因为宽松的 SK 约束导致优化器需要探索更广的可行域。两种问题的迭代次数均在 15 次以内，验证了递归方法的高效收敛特性。

图 19：控制加速度各分量随迭代次数的演化。蓝/橙/黄圆点分别对应 2/3/4 阶展开。

图 20：含 MD、三推力弧段和 SK 约束的仿真收敛剖面。

收敛特性总结：

• Problem (39)/(40)（单交会 + SK）：迭代次数始终 < 15
• 多交会 + 小推力场景：需要 14–33 次迭代
• 大部分迭代用于从一阶解过渡到二阶解（收敛约在第 11 次迭代）
• 三阶和四阶展开产生的解与二阶解非常相似——实际应用中二阶展开往往已足够

5. 方法对比与讨论

5.1 与 fmincon 的对比

5.2 与序列凸规划（SCP）的对比

传统 SCP 需要在每次迭代中重新以新的展开点构建线性映射（即重新进行数值传播和导数计算），而递归方法仅需在初始阶段计算一次多项式映射——后续所有线性化操作都是纯代数运算，极大降低了计算负担。

5.3 适用范围

论文强调该方法的通用性：
- ✅ 单次/多次交会
- ✅ PoC / MD / TPoC 等多种碰撞度量
- ✅ 脉冲 / 多脉冲 / 小推力动力学
- ✅ 密切根数 / 平均根数 SK 约束
- ✅ 与任意 PoC 计算模型兼容
- ✅ 与任意动力学模型兼容

6. 结论与工程意义

本文提出了一种简洁、高效且通用的碰撞规避机动优化方法：

1. 利用微分代数 自动构建 PoC、MD 和轨道保持等约束关于控制变量的高阶 Taylor 多项式
2. 将 CAM 建模为能量最优的多项式规划（PP）
3. 通过递归线性化 将高阶 PP 转化为一系列二次规划（QP）的迭代求解
4. 多项式映射仅需计算一次，后续迭代为纯代数运算，极大提升效率

数值验证结果令人印象深刻：

• 速度极快： 2,170 个真实交会场景的 CAM+SK 优化在 0.1–0.5 秒内完成
• 精度极高： PoC 约束误差低至 $4 \times 10^{-9}$，轨道恢复误差 < 2 cm
• 比通用求解器更快： 递归方法比 MATLAB fmincon 平均快 30–40%，且时间分布更稳定
• 通用性强： 同时支持脉冲/小推力、PoC/MD 和多种 SK 约束

工程应用前景

从工程角度看，这项工作的意义体现在多个层面：

1. 自主化空间交通管理。 0.1–0.5 秒的计算时间使该方法具备星上自主计算的潜力，可大幅减少对地面操作人员的依赖。

2. 多交会场景。 随着轨道日益拥挤，单星同时面临多个交会预警已成为常态。该方法能够在统一框架下为多交会场景设计最优规避策略。

3. 机动-恢复一体化。 将碰撞规避与轨道恢复耦合在一个优化问题中，避免了"先规避再恢复"的次优策略。

4. 广泛兼容性。 通过 DA 的自动化特性，该方法与具体的 PoC 模型和动力学模型解耦——只需更换传播器即可适配不同任务需求。

方法局限性

值得注意的局限包括：

• 脉冲/推力时机的选择需要事先指定（论文通过参数扫描验证了半轨道周期倍数为最优时机）
• 高阶展开在约束极端非线性时精度可能下降
• 当前仅在 LEO 短时交会场景中验证

参考文献

1. Z. Pavanello, L. Pirovano, R. Armellin, "Efficient collision avoidance manoeuvres under multiple polynomial constraints," Acta Astronautica, vol. 234, pp. 548–559, 2025. DOI: 10.1016/j.actaastro.2025.05.002
2. R. Armellin, "Collision avoidance maneuver optimization with a multiple-impulse convex formulation," Acta Astronautica, vol. 186, pp. 347–362, 2021.
3. C. Bombardelli, J. Hernando-Ayuso, "Optimal impulsive collision avoidance in low earth orbit," Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 38, no. 2, pp. 217–225, 2015.
4. Z. Pavanello, L. Pirovano, R. Armellin, "Recursive Polynomial Method for Fast Collision Avoidance Maneuver Design," IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 61, no. 2, pp. 2914–2925, 2025.
5. S. Dutta, A.K. Misra, "Convex optimization of collision avoidance maneuvers in the presence of uncertainty," Acta Astronautica, vol. 197, pp. 257–268, 2022.

本文是「前沿技术探究」栏目的首篇文章。该栏目专注于追踪和解读近年（2023–2026）发表的前沿技术论文，侧重方法创新和工程应用价值，旨在为读者提供及时的学术前沿动态和深入的技术分析。